谐振电路：谐振频率的计算方法、Q值的求法详解

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谐振电路：谐振频率的计算方法、Q值的求法详解

2024.10.23

1什么是谐振频率？
2谐振电路中的谐振频率
3什么是串联谐振电路？
4什么是并联谐振电路？
5谐振电路的Q值
6谐振电路的使用示例
7可抑制谐振的阻尼电阻和铁氧体磁珠
8深度理解谐振电路并在电子电路设计中灵活运用

谐振电路是使用电感（L）和电容（C）在特定频率下引起谐振的电路。谐振电路分串联谐振电路和并联谐振电路两种。谐振时，串联谐振电路的阻抗最小，并联谐振电路的阻抗最大。这些特性被广泛应用于无线通信、滤波器设计和信号处理等各种电子设备。

本文将更详细地介绍谐振频率的计算方法和Q值（Quality Factor）的求法。准确计算谐振频率对于设计和优化谐振电路而言至关重要，而Q值是用来评价电路选择性和能量损耗的重要指标。理解这些概念有助于充分利用谐振电路的性能，设计出更高效、更精密的电子电路。

什么是谐振频率？

谐振频率是物体或系统自然振动的固有频率。当从外部以该频率提供能量时，会产生称为“谐振”的现象，从而使系统的振动被放大。要想深入了解这种现象，需要先了解“固有振动”的概念。固有振动是指物体受到外部冲击后以其自身的固有频率产生的自然振动。这个频率是由物体的形状、质量和弹性决定的，无论外部冲击的大小如何，物体只会以这个频率振动。例如，不同的打击乐器之所以会发出独特的音色，是因为它们会以自有的频率振动。

当以谐振频率发生谐振时，系统会非常有效地吸收和存储外部能量。例如，“荡秋千”就是一种能够以较小的力来增加秋千摆动幅度的简谐振动案例。这是通过利用秋千的固有频率从外部提供能量来放大振动幅度而实现的。

在电路中，通过电阻、电感（L）和电容（C）的组合来决定谐振频率，当电路在该谐振频率下工作时，电感和电容之间将会高效地传输“电磁能”，从而使整个电路存储的能量达到最大。这个原理已被广泛应用于无线通信、滤波和传感器技术等众多领域。正确理解并控制谐振频率，可以更大程度地提高相关系统的性能并实现高效率和高精度。

固有振动和谐振

要理解谐振电路，首先需要了解“固有振动”和“谐振”现象。

“固有振动”是指当物体受到冲击时，该物体以其固有的频率振动的现象。

那么，什么是“以固有的频率振动”呢？例如，当敲击木琴（乐器）上的每个琴键时，或者当敲击有水的玻璃杯子边缘时，就会听到声音，无论是由谁来敲击，同样的东西发出的音调是相同的。

之所以音调相同，是因为木琴上每个琴键的材质和尺寸、玻璃的材质和厚度、水杯中的水位等条件决定了每次敲击时的振动频率（固有频率是固定的）。

如果持续对一个物体施加固有振动力，振动将与施加的振动力同步被放大。这种现象称为“谐振（共振）”。

例如，对摆动的秋千持续施力并继续晃动，秋千的摆动幅度会逐渐变大，这也是因为正在发生“共振”。

谐振电路中的谐振频率

谐振电路中的谐振频率是指电子电路发生谐振时的特定频率，在该频率下电路的阻抗达到最小或最大。谐振电路可以串联或并联设计，无论串联还是并联，谐振频率的计算公式是相同的。

谐振频率和角谐振频率

谐振频率由下列公式表示：
\(\) \(f_0 = \displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \, \text{[Hz]}\)

另外，谐振角频率(ω0)如下：

\(\omega_0 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

根据电抗求谐振频率

要了解谐振电路，需要先了解谐振频率和谐振角频率，这很重要。谐振频率（f0）是电路能够最有效地传输能量的频率，在该频率下电压和电流会达到最大值。谐振角频率（ω0）以弧度每秒（rad/s）表示谐振频率，在计算和分析中经常会用到。

了解这些基本概念有助于更深入地了解谐振电路的工作原理及其特性。在谐振电路的设计和应用中，这些频率知识非常有用，因此在本文中会介绍相关的知识。

是否发生谐振与电抗息息相关。容抗XC和感抗XL分别定义如下：

\(X_C = \displaystyle \frac{1}{2\pi f C}\)

\(X_L = 2\pi f L\)

从公式可以看出，容抗和感抗都会随着频率的变化而变化。

LC共振回路

电感和电容的电抗相等是发生谐振的条件：

\(X_L = X_C\)

将其代入电感和电容公式中，可以得到：

\(2\pi f L = \displaystyle \frac{1}{2\pi f C}\)

求出该公式的频率(f)即可得到谐振频率(f0)：

\(f_0^2 = \displaystyle \frac{1}{4\pi^2 LC}\)

\(f_0 = \displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)

另外，谐振角频率(ω0)如下：

\(\omega_0 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

谐振电路被广泛应用于通信、广播和模拟电子设备等众多领域，利用其特性，可以增强特定频率的信号。

什么是串联谐振电路？

串联谐振电路是串联连接电感器和电容器、使谐振频率下的阻抗最小的电路。该电路发挥滤波器的作用，会选择性地仅使某些特定频率通过。在无线电接收器和音频设备等强调特定信号的设备中应用广泛。

串联谐振电路的谐振频率由电感和电容的值决定，可进行精确的频率控制。通过设计串联谐振电路，可实现高性能电子设备的工作。

RLC串联谐振电路的阻抗

电阻（R）、电感（L）和电容（C）串联的电路中会发生谐振。谐振会发生在电容和电感的电抗相等的频率处。这种电路称为“RLC串联谐振电路”。

在RLC串联电路中，阻抗(Z)的表达式如下：

\(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\)

RLC直列共振回路

另外，发生谐振的条件是电感和电容的电抗相等时。

RLC直列共振回路

也就是说，在处于谐振状态的RLC串联电路中，阻抗（Z）的表达式如下：

\(|Z| = \sqrt{R^2 + 0^2} = R\)

从复阻抗来看，当电容和电感的电抗相等时，阻抗仅由电阻分量组成。

\(Z = R + j(X_L – X_C)\)

\(Z = R + j(\omega_0 L – \displaystyle \frac{1}{\omega_0 C}) = R + j\left(\displaystyle \frac{L}{\sqrt{LC}} – \displaystyle \frac{\sqrt{LC}}{C}\right) = R + j\left(\displaystyle \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} – \displaystyle \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}}\right) = R\)

电感L和电容C的电抗在谐振频率处会相互抵消，因此看起来只有电阻（R）。

共振周波数とリアクタンスの関係

这可以使阻抗达到最小值，电路中的电流达到最大值。

\(I = \displaystyle \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}} = \displaystyle \frac{V}{\sqrt{R^2 + 0}} = \displaystyle \frac{V}{R}\)

串联谐振电路的应用

串联谐振电路在电气和电子电路中发挥着非常重要的作用。目前已被广泛应用于诸如AC电源滤波器、噪声滤波器、收音机和电视机的调谐电路等各种电气产品中，用以生成可接收特定频道的具有选择性的调谐电路，从而可以准确地选择和接收各种频率的信号。

什么是并联谐振电路？

并联谐振电路是电感和电容并联的电路，其特点是在特定频率下会发生谐振现象。这种电路适用于无线通信和滤波电路等强调和需要选择特定频率的众多电子设备。在谐振频率处，电感和电容的电抗会相互抵消，使整个电路的阻抗达到最大，特定信号被增强。

RLC并联谐振电路的阻抗

RLC并联谐振电路是电阻（R）、电感（L）和电容（C）并联连接的电路。这种电路的阻抗公式如下：

\(\displaystyle \frac{1}{Z} = \displaystyle \frac{1}{R} + \displaystyle \frac{1}{j \omega L} + j \omega C = \displaystyle \frac{1}{R} + \displaystyle \frac{-j}{\omega L} + j \omega C = \displaystyle \frac{1}{R} + j(\omega C – \displaystyle \frac{1}{\omega L})\)

RLC並列共振回路

当RLC并联谐振电路正在发生谐振时，就像RLC串联谐振电路发生谐振时一样，电感L的电抗和电容C的电抗处于相互抵消状态。

\(\displaystyle \frac{1}{Z} = +j\left(\displaystyle \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{L}} – \displaystyle \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{L}}\right) = \displaystyle \frac{1}{R}\)

可见，在RLC并联电路中，当处于谐振状态时，阻抗（Z）也只有电阻分量。

\(Z = R \)

在RLC并联电路中，当处于谐振状态时，与RLC串联电路不同的是，此时阻抗最大（无穷大），电流最小（没有无电流流过，与电路断开时的状态相同）。

RLC串联谐振电路与并联谐振电路的差异

在RLC串联谐振电路和RLC并联谐振电路中，阻抗与电流之间的关系是不同的。流经RLC串联谐振电路的电流是电压除以阻抗的乘积，因此在发生谐振时阻抗为最小值（=R），电路电流为最大值。

而在RLC并联谐振电路中，发生谐振时导纳的虚部变为零，阻抗最大（=∞）。当阻抗最大时，电路电流受到限制，因此相当于电路断开状态。

RLC串联谐振电路和RLC并联谐振电路有很多共同之处，比如谐振频率的计算方法和发生谐振时Z=R等。但还有些不同之处需要掌握：在RLC串联谐振电路中，谐振时阻抗最小，电流最大；而在RLC并联谐振电路中，谐振时阻抗最大（无穷大），电流最小（没有电流流动，与电路断开时状态相同）。

谐振电路的Q值

“Q值（Quality Factor）”是量化谐振频率处信号曲线“尖锐程度”和选择性的重要指标，Q值越高，信号特性越尖锐，Q值越低，信号特性越平缓。该值可反映出电路有效存储能量和减少损耗的能力，对电子滤波器、振荡器和天线设计的精度影响非常大。

高Q值电路能够更精确地捕获窄带信号，是先进的通信技术和精密的传感器设计不可或缺的存在。选择和调整适当的Q值，是高性能电子设备设计中的关键要素。

另外，带宽与Q值成反比，表示谐振电路可有效通过的频率范围。

\(Q = \displaystyle \frac{\text{谐振频率下的信号强度}}{\text{带宽 BW}}\)

\(Q = \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_2 – \omega_1} = \displaystyle \frac{f_0}{f_2 – f_1}\)

RLC串联谐振电路中Q值的求法

下面，我们通过聚焦电路处于谐振状态时电流的表现以及电感（L）和电容（C）之间的相互作用，来了解RLC串联谐振电路中的Q值求法。发生谐振时，电流I恒定，电感和电容之间相互交换能量，因此这些因素产生的电抗相互抵消。

RLC直列共振回路のインピーダンス

在这种状态下，Q值被定义为电阻器（R）的阻值与电感器的电抗之比，是表示电路选择性和谐振曲线锐度的指标。

\(Q = \displaystyle \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_2 – \omega_1} = \displaystyle \frac{1}{R} \sqrt{\displaystyle \frac{L}{C}} = \displaystyle \frac{\omega_0 L}{R}\)

例如，下图表示RLC串联谐振电路中流动的电流大小“I”的频率特性。在电感（L）和电容（C）谐振的频率（角频率）处阻抗最小。

另外，Q值还发挥着谐振电路内电压放大倍数的系数的作用，表示通过电感器的电压被电阻分量放大了多少倍，即相对于电源电压的电压倍数。

RLC直列共振回路におけるQ値